医疗事故中，当事人申请法律援助的具体方式如下：向司法局申请，但是如果当事人仅仅只是就医疗事故申请法律援助的，可能不会申请通过，所申请的事项应当符合《法律援助条例》规定的申请范围。申请时应当提交符合法律援助情况的证明文件。法律依据：《法律援助条例》第十条 公民对下列需要代理的事项，因经济困难没有委托代理人的，可以向法律援助机构申请法律援助： （一）依法请求国家赔偿的； （二）请求给予社会保险待遇或者最低生活保障待遇的； （三）请求发给抚恤金、救济金的； （四）请求给付赡养费、抚养费、扶养费的； （五）请求支付劳动报酬的； （六）主张因见义勇为行为产生的民事权益的。 省、自治区、直辖市人民政府可以对前款规定以外的法律援助事项作出补充规定。 公民可以就本条规定的事项向法律援助机构申请法律咨询。

行为人涉嫌医疗事故罪申请法律援助，应当向审理案件的人民法院所在地的法律援助机构提出申请，并提交相关证明材料。 根据《法律援助条例》第十七条规定，公民申请代理、刑事辩护的法律援助应当提交下列证件、证明材料： （一）身份证或者其他有效的身份证明，代理申请人还应当提交有代理权的证明； （二）经济困难的证明； （三）与所申请法律援助事项有关的案件材料。 申请应当采用书面形式，填写申请表；以书面形式提出申请确有困难的，可以口头申请，由法律援助机构工作人员或者代为转交申请的有关机构工作人员作书面记录。法律依据：《法律援助条例》第十七条 公民申请代理、刑事辩护的法律援助应当提交下列证件、证明材料： （一）身份证或者其他有效的身份证明，代理申请人还应当提交有代理权的证明； （二）经济困难的证明； （三）与所申请法律援助事项有关的案件材料。 申请应当采用书面形式，填写申请表；以书面形式提出申请确有困难的，可以口头申请，由法律援助机构工作人员或者代为转交申请的有关机构工作人员作书面记录。

医疗事故申请法律援助需要提交如下相关材料： 1、符合要求的《法律援助申请表》； 2、身份证或者其他有效的身份证明，代理申请人还应当提交有代理权的证明； 3、申请人家庭经济困难证明； 4、与本案有关并且有事实证明为保障自己合法权益需要法律帮助的证据材料。法律依据：《法律援助条例》第十条 公民对下列需要代理的事项，因经济困难没有委托代理人的，可以向法律援助机构申请法律援助： （一）依法请求国家赔偿的； （二）请求给予社会保险待遇或者最低生活保障待遇的； （三）请求发给抚恤金、救济金的； （四）请求给付赡养费、抚养费、扶养费的； （五）请求支付劳动报酬的； （六）主张因见义勇为行为产生的民事权益的。